KESİRLİ MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YARI ANALİTİK ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE
Proje no. 24004 · Durum: Kapanmış · 2022
Özet
<p>Son yıllarda kesirli türevler elektrik, ayrık difüzyon, titreşim ve kontrol, Brownian hareketi, biyomedikal, mühendislik, kesirli faz kilitlemeli döngü, akışkanlar mekaniği gibi pek çok bilim dalına ait modellerin içerisinde karşımıza çıkmaktadır. Kesirli türevleri ihtiva eden bu modeller genellikle lineer olmayan diferansiyel denklemler olarak karşımıza çıkmaktadır. Hem tamsayılı türev hem de kesirli türev içeren lineer olmayan problemlerin analitik çözümlerine alternatif olarak son yirmi yılda pek çok yarı analitik yöntem ortaya konmuştur. Bu yöntemlerin içerisinde dalga dönüşümü yardımı ile elde edilen dalga çözümleri, hem fiziksel yapının görselleştirilebilmesinden hem de içerdiği parametrelere göre çözüm hızının belirlenebilmesinden dolayı odak noktası haline gelmiştir. Evrim denklemleri fiziksel bir sürecin modellemesi olduğundan, bağımsız parametre olarak mutlaka zaman parametresi olan t ‘yi içerisinde bulundurmaktadır. Dalga dönüşümü ile evrim denklemlerinin dalga çözümleri geliştirilen çeşitli yöntemlerle elde edilmektedir. Dalga çözümlerini bulmaktaki amaç, çözümleri bilgisayar ortamında simule ederek çözüm hareketlerini incelemek ve parametrelerdeki değişimin dalga hareketindeki etkilerini analiz ederek optimum çözüme ulaşmaktır. </p><p>2021 yılında , N.R. Kudryashov [22] tarafından kırılma indisinin lineer olmayan kuvvet yasasını içeren yeni bir yöntem geliştirilmiş ve yüksek mertebeden evrim denklemlerinin dalga çözümlerinde daha hassas sonuçlar elde edildiği gösterilmiştir. Yöntemin özelliği, yerel olmayan nonlineerite ve monomialler tarafından belirlenen keyfi yansıtıcı endeks ile optik solitonlar olarak kabul edilen soliter dalgalar şeklinde analitik çözümlerin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.</p><p>Bu proje çalışmasında lineer olmayan kuvvet yasasını içeren yöntem ile kesirli türev ihtiva eden modellerin dalga çözümlerinin elde edilmesi amaçlanmıştır. Kesirli mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler, akışkanlar dinamiğinde, sonlu derinlikli sudaki dalga paketinin oluşumunun; uzun dalga rejimi içerisindeki yerçekimi dalgalarının; fizikte zıt yönde yayılan dalgaların; tekil dalgalardaki bölünme ve birleşmenin; bir köpük içerisinde bulunan baloncuklardaki kanallar ve düğüm noktaları arasındaki sıvı akışının; farklı dispersiyon ilişkileri olan olan iki uzun dalga arasındaki etkileşimin; gergin tel ile bağlanmış esnemeyen sarkaç hareketinin; kristallerdeki kaymanın ve mikroelektrik yapısı olan Josephson tünellemesinin modellemesinde karşımıza çıkmaktadır. Çözüm yapıları değerlendirildiğinde kesirli mertebeden dalga yapılarının tamsayı mertebeli modellere göre mertebe değişiminden daha fazla etkilendiği görülmektedir. Bununla birlikte kesirli mertebeden evrim denklemlerinin çözümlerinde kink, kompakton, soliton gibi farklı dalga yapıları oluşurken, tamsayı mertebeli evrim denklemlerinde tek dalgalanma meydana gelmektedir. Dalga dönüşümünde bulunan parametrelere ait dalga yapıları uzun mesafeler boyunca yol alabilmektedir. Uzun mesafeler boyunca yol alabilen dalga yapıları sayesinde iletişim, telekomünikasyon, radar, fiber optik, lazer iletimi gibi uygulamalarda kullanılacak çok sayıdaki bilgi, sinyaller ile bozulmadan istenilen mesafelere taşınabilmektedir. Bu nedenle, elde edilen dalgaların hız ve boyutlarındaki artış bilgi iletimine önemli bir avantaj sağlayacaktır. Ele alacağımız modeller uzay zaman kesirli denklemler olacağından, dalga çözümlerinde dalga yapısını değiştirmeden, dalga hızını etkileyen ve dalganın uzun mesafeler boyunca yol alabilmesini sağlayacak olan hız ve zaman parametreleri kullanılacaktır. Yöntem güncellenerek daha etkin çözümlerin varlığı araştırılacaktır. Çözümler MATHEMATICA 13.0 ve MATLAB programlarında hesaplanacaktır. Elde edilen dalga çözümlerinin tipinin, hızının belirlenmesi ve bilgisayar paket programı FUSION 360 aracılığı ile 3 boyutlu modellerin simüle ve anime edilmesi, ele alınan modellerin teknolojik ve fiziksel anlamda kullanılabilirliğini gösterecektir. </p>