Lineer Olmayan Dördüncü Mertebeden Fark Denklemleri İçin Lyapunov Tipi Eşitsizlikler
Proje no. 21654 · Durum: Kapanmış (Yayın bekleniyor) · 2020
Özet
Rus matematikçi Lyapunov 1907 yılında q(t)∈[a,b] ve x(t)≠0 olmak üzerex'' (t)+q(t)x(t)=0 Hill denkleminin aşikar olmayan çözümü olmak üzere x(t)'nin x(a)=x(b)=0 olacak şekilde ardışık sıfırları olduğunda klasik Lyapunov eşitsizliği olarak bilinen<br /> (b-a) ∫_a^b|q(t)| dt>4<br /> eşitsizliğini elde etmiştir. Bu tarihten sonra ardışık iki sıfırları arasında yukarıdaki tarzdaki problemler için q(t) fonksiyonu için elde edilen eşitsizliklere Lyapunov tipi eşitsizlikler denilmektedir. Lyapunov eşitsizliği, Hill denkleminin çözümlerinin salınımlılık, diskonjuge, kararlılık, sınırlılık ve özdeğer problemleri gibi çeşitli özellikleri üzerine yapılan çalışmalarda oldukça fazla uygulama alanı bulmuştur.<br /> Lyapunov çalışması ortaya çıktığından günden günümüze kadar literatürde Lyapunov eşitsizliğinin pek çok genellemesi ve ispatı verilmiştir. <br /> Cheng tarafından yapılan 1983 tarihli makalede ikinci mertebeden fark denklemleri için Lyapunov tipi eşitsizlikler elde etmiştir. Daha sonra ki yıllarda ikinci ve daha yüksek mertebeli diferansiyel ve fark denklemleri için Lyapunov tipi eşitsizliklerin araştırmaları hız kazanmış ve Özbekler, Agarwal ve Abdeljawad gibi araştırmacılar diferansiyel denklemler ve kesirli diferansiyel denklemler için Lyapunov eşitsizlikleri hakkında bir çok çalışmaları olmuştur.<br /> Bizde bu projemizde, dördüncü mertebeden lineer olmayan fark denklemi için Lyapunov tipi eşitsizlik elde etmektir. Yüksek merteben lineer olmayan fark denklemleri için yapılan ilk çalışma olacağından bu çalışma daha sonra yapılacak diğer çalışmalara temel olacaktır. Lyapunov tipi eşitsizlik elde edebilmek için ilk olarak problemimizin aşikar olmayan çözümlerinin nasıl olacağı ifade edilip daha sonra Agarwal ve Özbekler tarafından ispatlanan lemmayı kullanarak eşitsizlik elde edilecektir.