Genelleştirilmiş impalsif sınır değer probleminin yinelemeli sistemi için pozitif çözümlerin varlığı
Proje no. 32489 · Durum: Kapanmış (Yayın bekleniyor) · 2024
Özet
<p>Gerçek dünyada, dış etkenler sebebiyle bazı süreçler ani değişimlere maruz kalmaktadır. Bu ani değişimlere impals adı verilir. Bu süreçlerin modellenmesinde adi diferansiyel denklemler teorisi yetersiz kalmaktadır. Bu durumda da ani gelişen dinamik süreçlerin modellenmesi için yeni bir teoriye ihtiyaç duyulmuştur. Bu tür süreçleri matematiksel olarak açıklamak için impalsif (impulsive) diferansiyel denklemler ile ifade edilen sistemler kullanılmaktadır. Örneğin; bir populasyonun, avlanma ya da başka sebepler ile nüfusunda belirli bir azalma oluşması, hareket eden bir cisme sert başka bir cisimle vurduğumuzda hızında oluşan ani değişiklik, bir katalizörün eklenmesi veya çıkarılması durumunda kimsayal reaksiyon hızının değişimi gibi anlık gelişen süreçleri ifade etmek için impalsif diferansiyel denklemler kullanılır.</p><p> İmpalsif diferansiyel denklemler fizik, kimya, kontrol teorisi, elektronik, mekanik, ekonomi, popülasyon dinamikleri, elektrik devreleri, tıp, ekoloji ve biyoloji gibi birçok alanda karşılaşılan somut problemlerin modellenmesinde daha gerçekçi bir yaklaşım sunmaktadır. Böylesi denklemler ile ilk kez, 1937 yılında bir saat modelinde rastlanmıştır. İmpalsif diferansiyel denklemlerin temel teorisinin tanımı ve uygulamaları için birçok kaynağa ulaşılabilir. Bu projede, n. mertebeden bir impalsif (impulsive) sınır değer probleminin yinelemeli (iterative) sistemi ele alınacaktır. Genel olarak yinelemeli bir sistem, istenen bir çözüme veya sonuca ulaşmak için tekrarlanan yinelemeleri veya adımları içeren bir süreç veya yöntemi ifade eder. Önceki çalışmalarda görüldüğü üzere, 2-li sistemler çalışılmıştır. Farklı problemlerde r-li sistemler de çalışılmıştır. Ancak onlar da yinelemeli(iterative) sistem olarak ele alınmamış, ayrık sistem olarak incelenmiştir. Ayrık r-li sistemde çözümü bulurken i=1,2,...,r için çözümler birbirinden bağımsız ayrı ayrı bulunabilir. Ancak yinelemeli sistemde i=1 durumunda y_1 çözümü bulunduktan sonra ancak y_r çözümü bulunur. y_1 bulunmadan y_r bulunmaz, y_r bulunmazsa y_{r-1} bulunmaz. Bu şekilde düşünüldüğünde, r-li çözümün bulunması için çözümlerin iç içe sırayla bulunması gerekir. En sonda da problemde tanımlandığı gibi y_{r+1} (t) = y_{1} (t) olduğunda i=r+1 durumunda sistem döngüsü kapanır ve (y_1, y_2, ..., y_r) r-li çözümü bulunmuş olur. Bu çalışmanın temel amacı, ele alınan n. mertebeden impalsif (impulsive) sınır değer probleminin yinelemeli sistemi için sabit nokta teoremlerini kullanılarak çözümlerin varlığı için kriterlerin ortaya konulmasıdır. Literatürde n. Mertebeden genelleştirilmiş impalsif (impulsive) sınır değer problemleri ele alınmıştır. Bu problemler ayrık sistem olarak da ele alınmıştır. Yinelemeli sistemin ayrık sistemden farkı sonraki her çözümün bulunması bir önceki çözümün bulunmasına bağlıdır. Bu nedenle oldukça karmaşıktır. Fakat, bu problemlerin yinelemeli sistemleri en fazla 2. mertebeden olarak çalışılmıştır. Bu nedenle, ele alınan problem literatürde yer alan çalışmaları belli oranda genelleştireceğinden literatüre katkı sağlaması temel amaçlardandır. Bu çalışmada, n. mertebeden bir impalsif (impulsive) sınır değer probleminin çözümlerinin varlığı için bazı kriterler ortaya konulmaya çalışılacaktır. Bunun için de sınır değer problemlerinde kullanılan bazı sabit nokta teoremlerinden faydalanılacaktır. Sonrasında da bir örnek ile elde edilen sonuçların uygulanabilirliği gösterilecektir.</p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p>